理论物理推导公式，不会推导时；数值计算出现bug时，debug的方法

长期更新。还很菜的自己的一点点经验，总得来说就是坚持，看不懂、推不出就多看几遍、多推导。在大四刚开始学理论物理时，看拓扑绝缘体书，看不懂，推导不出来，或者花一两天才能想出来想出来书中一个公式的推导，所以感觉自己非常菜，也非常没有信心。后来过了一年半多的时间，研一课程学习也给我打下了一点基础。重复文献时下定决心啃硬骨头，看不懂不会推导就坚持，自己慢慢想、查、问。最后发现，虽然经常花一两天甚至两三天才能重复出论文中的一个公式，但是最后过了6、7个星期，终于重复完了第一篇还算经典的论文。现在已经释然了，觉得自己的能力就是一两天才能想出来一个公式的推导的能力，但积少成多，最后也能够出一点成果。
另外推荐一下李新征老师的演讲全文：https://www.phy.pku.edu.cn/info/1179/6788.htm
http://grs.pku.edu.cn/dsfc/317247.htm :"我经常会鼓励学生不要总觉得自己笨，在物理学方面要做到“杰出”是需要天赋的，但我们这个社会更需要的，是合格的、有热情的、有科学精神的科研工作者，这是夯实整个科学研究的基础。期待同学们能始终保护好自己的兴趣，在有兴趣的基础上，吃得了苦，努得了力，就离成功不远了！"
书记在宁德当地委书记时对贫困落后的宁德也曾说“弱鸟先飞，水滴石穿”的道理。见：http://cpc.people.com.cn/n1/2021/0926/c441137-32237023.html 中：

谢作民：你们谈到这个问题，我很感慨。我先讲一个小故事吧。我在宁德小市当书记的时候，世界知名良港三都澳就在我们这个市，当时讨论得沸沸扬扬的三都澳开发的事情就在我的任上。我们要开放，要发展，当时很多人就把三都澳港和荷兰路特丹港相比，认为我们的自然条件比如水深、港阔等方面都比荷兰路特丹港强，只讲自然条件，没讲基础设施和其他条件。为此，我还专门请了专家过来“把脉”，其中有个专家实地看过之后，笑了笑，问我：你去过荷兰路特丹港吗？我说我没去过。我听出来他的话里有一丝嘲讽的意味，当时心里还有些不服气。可后来，我到省船舶集团工作，有机会出国谈业务，有一次真的到了路特丹港口，现实给了我很大的打击：我们的三都澳怎么能跟人家的港口相比？！鹿特丹的港口，地理位置优越，吊车林立，铁路、公路、航空四通八达。可我们的三都澳，空有长长的海岸线，什么交通都不通、配套也没有，怎么能一下子就开发了呢？这些事给我的教训很深，我也越发觉得书记上世纪80年代在宁德任职时就提出“滴水穿石”的精神，是多么的务实和深刻！我们都能体会，他有一份雄心壮志，也恨不得闽东能迅速摆脱贫困。但他也非常冷静地认识到，我们不可能一下子抱上“金娃娃”，必须要一步一个脚印地走下去，最终才能成事。我记得2010年9月，他回到宁德，专门和宁德的领导和老同志相见，又谈起当年闽东人的三大梦想，虽然当时不能实现，但一任接着一任干到今天，宁德建市、温福铁路都实现了，三都澳也在开发之中。这就是“滴水穿石”的力量。这是书记留给我们闽东人最宝贵的精神财富。

论文读不懂怎么办：https://zhuanlan.zhihu.com/p/90113374，
另外，我自己的一个感悟是：对于像我这样智商很普通、不擅长理论的人，少数PRB文章的推导过程会写得很详细，这时就非常便于学习和重复这篇论文，方便硕士毕业及早转行，需要多找这种文章，但这种文章很少，例如https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.100.125401 这篇激子非线性的文章的推导就写得特别清楚，容易重复。
重复经典文献等等

I. 不会推导时：

0） 不在故纸堆中科研！

比如李正中书15页的一个积分，参考文献[4]中肯定证明了，一定正确，算这个数学问题是浪费时间，我不能浪费时间！！！浪费了一个多小时！！！还有很多东西需要学！！！注意！！！

1） 一时推导不会，先跳过， 后面可能就想出来了，或者先把自己已推导的部分写成笔记，在写的过程中就想出来了(在bernvig书第七章推导时就是这样)，或者找文献，书

确实，95年sipe论文中的(13)的证明就是这样，一个下午+晚上一个多小时都推导不出来此公式，但最后有一点思路，然后先跳过，然后早上才推导出来了！）

2） 和别人讨论！

一起讨论，也许学习效果特别好！

不能一个人学物理，否则遇到困难就无法解决，浪费很多时间， 应该遇到问题时，和别人讨论一下 ，就算别人不知道，没讨论出结果，但是讨论的这个过程会给你灵感，别人会告诉你一些思路，即使可能有的思路走不通，但是能启发出其他思路，最后就解决了这个问题。

杨振宁说，争辩是最好的学习物理的方法，中外的物理学家都是这样认为。黄昆也认为争辩是最好的学习物理的方法。
注意是学习，在平时学习就应该争辩，不仅是科研时。
https://www.phys.tsinghua.edu.cn/info/1065/4420.htm中：
"关于怎样去考虑向哪个方向走，杨先生劝勉同学们首先要了解自己的兴趣和能力，培养自己的兴趣和能力的有效途径是多读书，多看与学术有关的的杂志（例如美国的“Physics Today”，中国的“物理”），随时扩充自己的兴趣。杨先生还用父亲当年引导自己看数学大师传记（“Men of Mathematics”）的往事，启发同学们读一些科学家的传记，增强自己的科学兴趣。关于学习方法，杨先生以自己在西南联大时与同窗好友黄昆、张守廉争论量子力学中的“测量”的意义的故事，指出多跟同学辩论是最好的学习方法，中外的教师莫不如此认识。最后杨先生劝导同学们应该把英文学好，读、说、写英文的能力都要好，因为英文从二战后已成为科学界的最主要的文字了，杨先生说自己也是经过几次集中精力练习才做到的。"

3）注意出现的论文、物理书等，推导是可以推导出来的，只不过可能跳步严重，或者叙述不好，或者确实有一点推导错误，而导致我不会推导。所以应该有信心，推导是一定可以推导出来，一定可以获得精妙和完全的理解，就像高中的数学、物理，其实都是可以学懂的，学懂了就觉得科学非常有趣，就像李永乐的科普视频。

论文和书中跳过的步骤就像一道道高中数学题，需要自己解决。但是我依然认为那些省略了太多步骤的物理书不好，但是可能是我的能力有限。

4）a short course拓扑绝缘体书第3章中（3.20）的证明是一个数学问题，我想了很久才证出来（开始想了很久没证出来，过了一天冷静下来之后又想了一小时才证出来），其实遇到问题不应该怕， 不应该让情绪主导你，而应该冷静下来，仔细分析、慢慢思考有什么解决方法 ？这样才是解决问题之道！

5）查更多文献，比如现在看的这篇论文的参考文献的参考文献

sipe00年论文的（10）式，想了两三天也没想出来怎么证明，只是有一些思路，计算了，但没有证明出来，后来开组会，老师提醒我看luttinger的论文，我后来看了一下，稍微算了一下，结合前两天自己的思路和计算，就有灵感怎么证明了。所以当推导证明不出来的时候，就应该讨论，并且可以 查更多文献，比如现在看的这篇论文的参考文献的参考文献 。

一般来说， 最早的论文才会把来龙去脉都写出来，后面的论文就可能不会写那么清楚了。 luttinger是57年的论文，其实还有更早的论文，确实luttinger的论文写得比62年blount的论文写得更好懂，不过也可能是因为luttinger这个人写论文就是会把很多推导都写清楚。

6）网上找！

比如dipole hamiltonian我不知道物理意义，查了一下就知道了。还有长度规范与速度规范之间的变换。
还有一些物理论坛，有很好的回答，例如：https://www.physicsforums.com/threads/the-fermi-dirac-distribution-function.178967/
https://physics.stackexchange.com/questions/101408/fermi-dirac-distribution-derivation
解决了我的疑问（另外，从这里的网页的证明可以感觉到，理论物理真是太难了，本人智商不够，想不出来上面网页上这种证明过程，，，）。

7）在谷歌学术中搜作者，很可能可以搜到论文作者的博士论文。博士论文中一般写得都比论文更详细，推导过程更多

8）在推导过程中注意所使用公式的前提条件！

在推导sipe95年论文(11)的时候，发现自己推导出的结果和(11)矛盾。此时其实是因为我的推导中使用的一个公式有前提条件n不等于m，而我没有注意此前提条件就使用此公式，导致一直没想出来我的推导问题在哪。

9）有些错误的推导或者不会推是因为自己的想当然认为某个公式成立(但其实认真写下来发现不成立)等

10)在sipe论文推导中，居然有两次推导错误，都错误地认为

\(\left[a_{m}, \frac{\partial a_{l}\left(k^{\prime}\right)}{\partial k^{\prime b} }\right]\)等于delta函数而不是等于0.这是粗心导致的，其实证明过程很复杂，所以这种错误在推导中没有意识到，则后面会出现更多的麻烦！

11）研究的理论中有些细节问题，你不去弄清楚，就可能出现大问题。太过于急功近利的心态，常常会易错，注意不到一些重要的东西，太过于急功近利的心态，就甚至连论文也读不仔细，就注意不到一些重要的东西。

比如微扰论成立的前提应该弄清楚，密度矩阵的定义也应该弄清楚

II. 一些具体方法

1. 推导证明求和式应将求和式展开再证

例：nolting书第二章（2.37）的证明、a short course拓扑绝缘体书中（3.20）的证明

2. 求导和积分交换顺序 —— 重要方法 ：

例：nolting书中（2.28）

注意划线句。

张明哲 2018拓扑绝缘体讲义第四章（1.6）的证明过程中也用了类似上面图中的方法，将\(\frac{\partial}{\partial k}\)提到积分号外，因为它对积分中的其他部分无作用。（其他部分是k'）

3.分部积分、换元法、矢量分析公式、泊松求和公式、格林公式、周期函数格林定理等数学方法

对频率求导或积分、分部积分、考虑量级然后忽略、用上点乘和叉乘及梯度公式、换元法（令t=-k)等

4.海森堡运动方程法、乘波函数法证明算符等式等方法，比如可以查一下量子力学习题笔记本中归纳的方法

5.化简复杂表达式的一些方法：

1)交换脚标m和n ：比如思源sipe00论文(36)的证明中：

在第二项交换m和n，最后就能得到更简洁的表达式！

2）傅里叶变换，周期函数格林定理

6.特别复杂的计算还是不心算，而是将每一步都写出来，否则易错。比如现在自己的论文推导

III.公式推导的工具

1)数位板推导公式+mathpix识别

有其优点，因为 有套索（最方便） 、橡皮擦等功能！特别方便，特别是套索！注意onenote中也可以作为套索，再用快捷键复制粘贴！

用数位板推导其实还是很快！还能结合mathpix转成latex公式

2)纸

因为显示器的大小有限，有些特别特别复杂的推导，真的更适合用纸，因为可以写很多张纸，公式可以写得很长，可以有一个对许多公式的全局的对比，而且可以几张纸上的公式进行对比，方便。
有些复杂推导，用数位板因为屏幕不够，不方便写，想不出来，而用纸页面更大，更容易写下复杂公式，确实更有思路，有的公式我就是用数位板推不出来，用纸推能想出来。
在纸上写的时候整齐一些，推导完后拍一下传到电脑，再用mathpix识别

3）mathematica或matlab符号计算

matlab符号计算其实也很强大，能解出一些mma解不出来的符号方程

4）axmath软件

也可以用于推导公式，很方便！

5）texstudio：结合texstudio的公式预览功能直接在latex上写复杂的公式推导

总之，推导公式时灵活运用以上五种工具，都使用，速度会更快
以上5个方法都是经验得出的

IV.量纲分析检查得到的公式

在得到一些结果时，特别是一些复杂的表达式时，需要用量纲分析检查一下！注意利用\(\hbar\)的量纲是\(J\cdot s\)!

V.查文献

用好web of science的引文跟踪和检索跟踪：

VI.数值计算出现bug时,debug的方法

重要：程序出现问题时，debug的方法：

0）有些bug很难发现，所以对待科研程序必须非常认真、非常注意有没有bug

有些bug很难发现，但确实造成结果不正确，所以对待一个科研程序的态度必须要非常认真、非常注意有没有bug

1）一部分一部分运行，debug

将一部分程序剪切到思源，然后只运行剩下的部分程序。这样一部分一部分debug，就能知道问题在哪个部分！！！

2）多使用一些print查看中间结果

从print的结果中可以发现一些规律，从而找到错误所在，比如在有bug的程序中发现数据一直是递增的，则问题可能是在for循环中某个变量一直在循环中累加，就找到了错误所在。

3）修改参数再print查看结果

修改参数再查看结果，就可能发现错误所在！

4）有可能不是程序有bug，是软件突然有问题，关掉python，再打开再运行！！！

我7点半其实就写好了程序，但一直运行不出来，我以为是程序有bug，一直研究到了21点17分，才发现别的python程序也运行不出来，只要是有画图的程序就运行不出来。后来我把python关了，再打开，这些程序就能运行出来图片了

原来是python自己出问题了，而不是我的程序有bug！！！所以以后注意，遇到运行不出来的情况，还可能是软件有问题，关掉python，再打开再运行！！！

后来我发现这个问题不是python的问题，而是只要我将电脑连海信作为扩展屏，有画图的python程序就运行不出来，所以以后运行python时将海信扩展屏关掉！！！

或者使用spyder这个IDE来编译画图程序就可以。

5)特殊值法，找一些具体例子分析，比如程序中有bug却不知道问题在哪，可以具体计算一下出问题的k=9的情况，具体例子更能够发现问题在哪里、在哪个函数上